Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+1，0≤x≤1\\ \frac{1}{2}sin（{\frac{π}{4}x}）+\frac{3}{2}，1＜x≤4\end{array}\right.$，若不等式f²（x）-af（x）+2＜0在x∈[0，4]上恒成立，則實數(shù)a取值范圍是（　　）

• A． $a＞2\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}＜a＜3$
• C． a＞3
• D． $3＜a＜2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 這是一個復(fù)合函數(shù)的問題，通過換元t=f（x），可知新元的范圍，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)互為求函數(shù)的最值問題，進(jìn)而計算可得結(jié)論．

解答 解：由題可知，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x+1∈[1，2]，
當(dāng)x∈（1，4]時，$\frac{π}{4}$x∈（$\frac{π}{4}$，π]，sin（$\frac{π}{4}$x）∈[0，1]，f（x）=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{4}$x）+$\frac{3}{2}$∈[$\frac{3}{2}$，2]，
所以當(dāng)x∈[0，4]時f（x）∈[1，2]，令t=f（x），則t∈[1，2]，
從而問題轉(zhuǎn)化為不等式t²-at+2＜0在t∈[1，2]上恒成立，
即a＞$\frac{{t}^{2}+2}{t}$=t+$\frac{2}{t}$在t∈[1，2]上恒成立，
問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=t+$\frac{2}{t}$在[1，2]上的最大值，
又因為y=t+$\frac{2}{t}$在[1，2]上單調(diào)遞減，
所以y=t+$\frac{2}{t}$≤1+2=3，
所以a＞3，．
故選：C．

點評 本題考查復(fù)合函數(shù)的恒成立問題，考查換元法，考查分離參數(shù)解決恒成立問題，涉及三角函數(shù)在區(qū)間上的值域問題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．