Question

設(shè)雙曲線，點(diǎn)A、B分別為雙曲線C實(shí)軸的左端點(diǎn)和虛軸的上端點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M、N是雙曲線C的右支上不同兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn)．已知在雙曲線C上存在一點(diǎn)P，使得．
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)a為正常數(shù)，若點(diǎn)Q在直線y=2x上，求直線MN在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設(shè)，點(diǎn)A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），其中．（1分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4421.png' />，則．
設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）
，則，所以，．（3分）
因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，所以，即（c-a）²=4a²．（4分）
因?yàn)閏＞a，所以c-a=2a，即c=3a，故離心率．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c=3a，則b²=c²-a²=8a²．（7分）
若MN⊥x軸，則Q在x軸上，不合題意．
設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，代入，得8x²-（kx+m）²=8a²，即（8-k²）x²-2kmx-m²-8a²=0．（*）（9分）
若k²=8，則MN與雙曲線C的漸近線平行，不合題意．
設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），則，，．（10分）
若點(diǎn)Q在直線y=2x上，則．
因?yàn)辄c(diǎn)M、N在雙曲線的右支上，所以m≠0，從而k=4．（11分）
此時(shí)，方程（*）可化為8x²+8mx+m²+8a²=0．
由△=8²m²-4×8（m²+8a²）＞0，得m²＞8a²．（12分）
又M、N在雙曲線C的右支上，則x₁+x₂=-m＞0，所以．
故直線MN在y軸上的截距的取值范圍是．（13分）
分析：（Ⅰ）由題設(shè)知．．設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則有，．由此推導(dǎo)出c=3a，可得離心率；
（Ⅱ）由題意知c=3a，則b²=c²-a²=8a²．若MN⊥x軸，則Q在x軸上，不合題意．設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，代入，得8x²-（kx+m）²=8a²，即（8-k²）x²-2kmx-m²-8a²=0．若k²=8，則MN與雙曲線C的漸近線平行，不合題意．設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），由根與系數(shù)的關(guān)系能夠推導(dǎo)出直線MN在y軸上的截距的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．