Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），根據(jù)條件和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解，再代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的公差，代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡，再求出

1

Sn

并進(jìn)行列項(xiàng)，再求出數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
由題意得a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，
∴（2+d）²=2（2+3d），解得 d=2，或d=0（舍），
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn=na1+

n(n-1)

2

d=2n+n(n-1)=n2+n，
∴

1

Sn

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
則Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
所以數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和Tn=

n

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．