Question

設函數f（x）=sin（

πx

4

-

π

6

）-2cos²

πx

8

+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，求當x∈[0，

4

3

]時y=g（x）的最大值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=

3

sin（

π

4

x-

π

3

），由周期公式可得；
（Ⅱ）在y=g（x）的圖象上任取一點（x，g（x）），則它關于x=1的對稱點（2-x，g（x））在y=f（x）的圖象上，可得g（x）=f（2-x）=

3

cos（

π

4

x+

π

3

），由0≤x≤

3

4

結合余弦函數的單調性可得．

解答： 解：（Ⅰ）化簡可得f(x)=sin

π

4

xcos

π

6

-cos

π

4

xsin

π

6

-cos

π

4

x
=

3

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x

=

3

sin（

π

4

x-

π

3

），
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

π 4

=8；
（Ⅱ）在y=g（x）的圖象上任取一點（x，g（x）），
則它關于x=1的對稱點（2-x，g（x））在y=f（x）的圖象上，
∴g（x）=f（2-x）=

3

sin[

π

4

（2-x）-

π

3

]
=

3

sin（

π

2

-

π

4

x-

π

3

）=

3

cos（

π

4

x+

π

3

）
當0≤x≤

3

4

時，

π

3

≤

π

4

x+

π

3

≤

2π

3

，
∴y=g（x）在區(qū)間[0，

4

3

]上的最大值為gmax=

3

cos

π

3

=

3

2

點評：本題考查三角函數的圖象和性質，涉及三角函數的周期性和最值，屬基礎題．