Question

12．已知f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，則（　�。�

• A． f（x）＞0
• B． f（x）＜0
• C． f（x）為減函數(shù)
• D． f（x）為增函數(shù)

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=xe^xf（x），g′（x）=e^x[（x+1）f（x）+x′（x）]，可得函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，而g（0）=0
即x＞0時(shí)，g（x）=xe^xf（x）＞0⇒f（x）＞0；x＜0時(shí)，g（x）=xe^xf（x）＜0⇒f（x）＞0；在（x+1）f（x）+xf'（x）＞0中取x=0，得f（0）＞0．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xe^xf（x），g′（x）=e^x[（x+1）f（x）+x′（x）]，
∵（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，∴g′（x）=e^x[（x+1）f（x）+x′（x）]＞0，
故函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，而g（0）=0
∴x＞0時(shí)，g（x）=xe^xf（x）＞0⇒f（x）＞0；x＜0時(shí)，g（x）=xe^xf（x）＜0⇒f（x）＞0；
在（x+1）f（x）+xf'（x）＞0中取x=0，得f（0）＞0．
綜上，f（x）＞0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷；本題的難點(diǎn)在于構(gòu)造新函數(shù)g（x）=xe^xf（x），通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性．