Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．
（1）證明：AD⊥平面PAB；
（2）求異面直線(xiàn)PC與AD所成的角的余弦值；
（3）求二面角P-BD-A的大小余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明AD⊥PA，AD⊥AB，利用線(xiàn)面垂直的判定定理，可得AD⊥平面PAB；
（2）由題意得，BC∥AD，所以∠PCB（或其補(bǔ)角）是異面直線(xiàn)PC與AD所成的角，判定△PBC是直角三角形，即可得出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H，過(guò)H作HE⊥BD于E，連接PE，證明∠PEH為二面角P-BD-A的平面角，即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：在△PAD中，由題設(shè)PA=2，PD=2

2

，
可得PA²+AD²=PD²，于是AD⊥PA；
在矩形ABCD中，AD⊥AB，
又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB；
（2）解：由題意得，BC∥AD，所以∠PCB（或其補(bǔ)角）是異面直線(xiàn)PC與AD所成的角
在△PAB中，由余弦定理得PB=

PA2+AB2-2PA•AB•cos∠PAB

=

7

由（1）知AD⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB，∴BC⊥PB，
故△PBC是直角三角形，
∴tan∠PCB=

PB

BC

=

7

2

，
∴異面直線(xiàn)PC與AD所成的角的余弦值為

2 11

11

；
（3）解：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H，過(guò)H作HE⊥BD于E，連接PE
∵AD⊥平面PAB，PH?平面PAB，
∴AD⊥PH
∵AD∩AB=A
∴PH⊥平面ABCD
∴∠PEH為二面角P-BD-A的平面角
∵PH=PAsin60°=

3

，AH=PAcos60°=1
∴BH=AB-AH=2，BD=

AB2+AD2

=

13

∴HE=

AD

BD

•BH=

4

13

在直角△PHE中，tan∠PEH=

39

4

∴二面角P-BD-A的余弦值為

4 55

55

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面垂直，考查線(xiàn)面角，面面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．