【題目】已知函數f(x)=log2(4x+1)﹣x,g(x)=log2a+log2(2x﹣ )(a>0,x>1).
(1)證明函數f(x)為偶函數;
(2)若函數f(x)﹣g(x)只有一個零點,求實數a的取值范圍.
【答案】
(1)證明:f(x)的定義域是R,
f(﹣x)=log2(4﹣x+1)+x
=log2 +x
=log2(4x+1)﹣log222x+x
=log2(4x+1)﹣2x+x
=f(x),
故f(x)在R是偶函數
(2)解:由題意:函數f(x)﹣g(x)只有一個零點,即f(x)=g(x)只有一個零點,
可得:log2(4x+1)﹣x=log2a+log2(2x﹣ )(a>0)
整理得: .
即:
令2x=t
∵x>1,
∴t>2
轉化為f(t)= (t>2)與x軸的交點問題.
當a﹣1=0,即a=1時,f(t)=
∵t>2,∴f(t)恒小于0,與x軸沒有交點.
當a﹣1>0,即a>1時,f(t)與x軸有一個交點,需那么f(2)<0.
解得: ,
所以: .
當a﹣1<0,即0<a<1時,f(t)與x軸有一個交點,需那么f(2)>0,此時無解.
綜上所得:函數f(x)﹣g(x)只有一個零點,求實數a的取值范圍是(1, )
【解析】(1)求解定義域,利用定義進行判斷即可.(2)函數f(x)﹣g(x)只有一個零點,即f(x)=g(x)只有一個零點,化簡計算,轉化成二次方程問題求解.
【考點精析】認真審題,首先需要了解函數的奇偶性(偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關于原點對稱).
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)= 是奇函數.
(1)求實數a的值;
(2)用定義證明函數f(x)在R上的單調性;
(3)若對任意的x∈R,不等式f(x2﹣x)+f(2x2﹣k)>0恒成立,求實數k的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知點是橢圓的左、右頂點, 為左焦點,點是橢圓上異于的任意一點,直線與過點且垂直于軸的直線交于點,直線于點.
(1)求證:直線與直線的斜率之積為定值;
(2)若直線過焦點, ,求實數的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)= 是定義在(﹣1,1)上的奇函數,且f(1)=1.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)判斷并證明f(x)在(﹣1,1)上的單調性.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的奇函數f(x),當x>0時,f(x)=﹣x2+2x
(1)求函數f(x)在R上的解析式;
(2)若函數f(x)在區(qū)間[﹣1,a﹣2]上單調遞增,求實數a的取值范圍.
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【題目】石家莊市為鼓勵居民節(jié)約用電,采用分段計費的方法計算電費,每月用電不超過100度時,按每度0.52元計算,每月用電量超過100度時,其中的100度仍按原標準收費,超過的部分每度按0.6元計算.
(1)設月用電x度時,應繳電費y元,寫出y關于x的函數關系式;
(2)小明家第一季度繳納電費情況如表:
月份 | 一月 | 二月 | 三月 | 合計 |
繳費金額 | 82元 | 64元 | 46.8元 | 192.8元 |
問小明家第一季度共用電多少度?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線C: 的離心率是 ,其一條準線方程為x= .
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)設雙曲線C的左右焦點分別為A,B,點D為該雙曲線右支上一點,直線AD與其左支交于點E,若 =λ ,求實數λ的取值范圍.
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