數(shù)列{a
n}滿足a
1=a,
an+1=,n=1,2,3,….
(Ⅰ)若a
n+1=a
n,求a的值;
(Ⅱ)當(dāng)
a=時,證明:
an<;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列{a
n-1}的前n項之積為T
n.若對任意正整數(shù)n,總有(a
n+1)T
n≤6成立,求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)由題意知
an=,解得
an=,由n的任意性知,
a1=a=.
(Ⅱ)假設(shè)
an≥,則
an-1≥,依此類推,
an-2≥,,
a2≥,
a1≥,與
a1=矛盾.所以
an<.
(Ⅲ)由題設(shè)條件知
2(an-1)=.由此入手能夠解出a的取值范圍是
[-,].
解答:解:(Ⅰ)因為a
n+1=a
n,所以
an=,解得
an=或a
n=-1(舍去).
由n的任意性知,
a1=a=.(3分)
(Ⅱ)反證法:
假設(shè)
an≥,則
≥,得
an-1≥,
依此類推,
an-2≥,,
a2≥,
a1≥,與
a1=矛盾.
所以
an<.(8分)
(Ⅲ)由已知,當(dāng)n≥2時,2a
n2=a
n-1+3,2(a
n2-1)=a
n-1+1,2(a
n-1)(a
n+1)=a
n-1+1,
所以
2(an-1)=.
同理
2(an-1-1)=,
2(a3-1)=,
2(a2-1)=.
將上述n-1個式子相乘,得
2n-1(a2-1)(a3-1)(an-1-1)(an-1)=,
即
2n-1×=,
(an+1)Tn=.
所以
≤6對任意n≥2恒成立.
又n=1時,(a
1+1)(a
1-1)=a
12-1≤6,
故a
12≤6×2
n-1+1對任意n∈N
*恒成立.
因為數(shù)列{6×2
n-1+1}單調(diào)遞增,所以a
12≤6×1+1=7,
即a的取值范圍是
[-,].(14分)
點評:本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運用,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
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2=2,
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17等于
.
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(III)若
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n}滿足
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n}為等比數(shù)列;
(2)求{a
n}的通項公式.
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題型:
數(shù)列{a
n}滿足a
1=
,a
n+1=a
n2-a
n+1(n∈N
*),則m=
++…+的整數(shù)部分是( 。
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