Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+2a-4不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n），n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

an

2n

求{b_n}的前n次和T_n．
（3）在各項(xiàng)不為零的數(shù)列{c_n}中，所有滿(mǎn)足Cm C_m+1＜0的正整數(shù)m的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)數(shù)列{C_n}的變號(hào)數(shù)，若C_n=

1

a

-

1

an

（n∈N^*），求數(shù)列{C_n}的變號(hào)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先利用條件求出a，代入找到S_n的表達(dá)式，再利用S_n和a_n的關(guān)系來(lái)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列{b_n}進(jìn)行求和即可（注意分情況討論）．
（3）先利用前2問(wèn)的條件求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)以及前幾項(xiàng)，再利用函數(shù)的單調(diào)性就可求數(shù)列{C_n}的變號(hào)數(shù)．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素，所以對(duì)應(yīng)方程的△=0?a=4，
故f（x）=x²-4x+4，
所以S_n=f（n）=n²-4n+4?a_n=

s1     n=1    sn-sn-1     n≥ 2

?a_n=

1(n=1) 2n-5(n≥2)

（2）由（1）知b1=

1

2

，bn=

2n-5

2n

(n≥2)（3分）

所以當(dāng)n=1時(shí)，T₁=

1

2

當(dāng)n≥2時(shí)，利用錯(cuò)位相減求和法可得Tn=1-

2n-1

2n

，
綜合，Tn=1-

2n-1

2n

（n∈N′），（9分）
（3）Cn=

- 3 4 (n=1) 1 4 - 1 2n-5 (n≥2)

所以c₁=-

3

4

，c₂=

3

4

，c₃=-

3

4

，c₄=-

1

12

，c₅=

1

20

，
又因?yàn)閚≥5時(shí)，Cn≥

1

4

-

1

2×5-5

≥

1

20

＞0
故變號(hào)數(shù)為3．（4分）

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)列知識(shí)和函數(shù)知識(shí)的綜合考查．涉及到已知前n項(xiàng)和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)a_n和S_n的關(guān)系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗(yàn)證n=1時(shí)通項(xiàng)是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）；若不成立，則通項(xiàng)公式為分段函數(shù)．