Question

10．某校高一年級舉行了一次數(shù)學競賽，為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進行統(tǒng)計，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數(shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）．

（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y的值；
（2）估計本次競賽學生成績的中位數(shù)和平均分；
（3）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取2名學生，求所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]內的概率．

Answer 1

分析 （1）由樣本容量和頻數(shù)頻率的關系易得答案；
（2）根據(jù)平均數(shù)的定義和中位數(shù)的定義即可求出．
（3）由題意可知，分數(shù)在[80，90）內的學生有5人，記這5人分別為a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，分數(shù)在[90，100]內的學生有2人，記這2人分別為b₁，b₂，列舉法易

解答 解：（1）由題意可知，樣本容量n=$\frac{8}{0.016×10}$=50，
y=$\frac{2}{50×10}$=0.004，x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030；
（2）設本次競賽學生成績的中位數(shù)為m，平均分為$\overline{x}$，
則[0.016+0.03+（m-70）×0.040]×10=0.5，解得m=71，
$\overline{x}$=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，
（3）由題意可知，分數(shù)在[80，90）內的學生有5人，記這5人分別為a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，
分數(shù)在[90，100]內的學生有2人，記這2人分別為b₁，b₂．抽取的2名學生的所有情況有21種，
分別為：（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，a₄），（a₁，a₅），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，a₃），
（a₂，a₄），（a₂，a₅），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，a₄），（a₃，a₅），（a₃，b₁），
（a₃，b₂），（a₄，a₅），（a₄，b₁），（a₄，b₂），（a₅，b₁），（a₅，b₂），（b₁，b₂）．
其中2名同學的分數(shù)都不在[90，100]內的情況有10種，分別為：
（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，a₄），（a₁，a₅），（a₂，a₃），（a₂，a₄），（a₂，a₅），
（a₃，a₄），（a₃，a₅），（a₄，a₅），
∴所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]內的概率P=1-$\frac{10}{21}$=$\frac{11}{21}$．

點評 本題考查列舉法求古典概型的概率，涉及頻率分布直方圖．