已知函數(shù)f(x)=
a
2
-
2x
2x+1
（a為常數(shù)）
（1）證明：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值．
分析：（1）要用函數(shù)的單調(diào)性的定義來證明函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)，首先取兩個(gè)具有大小關(guān)系的變量，利用這兩個(gè)自變量的函數(shù)值相減，把最后結(jié)果整理成因式乘積的形式，判斷差和0的關(guān)系．
（2）根據(jù)函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，并且函數(shù)的定義域包含0，所以只要寫出f（0）=0，得到關(guān)于a的等式，解方程即可．
解答：解：（1）證明：在（-∞，+∞）上任取兩個(gè)值x1，x2且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=（
a
2
-
2x1
2x1+1
）-（
a
2
-
2x2
2x2+1
）
=
2x2
2x2+1
-
2x1
2x1+1
=
2x2-2x1
(2x1+1)(2x2+1)

∵2＞1且x1＜x2
∴2x2-2x1＞0又(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
（2）∵f（x）為奇函數(shù)且在x=0處有意義，
∴f（0）=0
∴
a
2
-
20
20+1
=0
∴a=1
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，是一個(gè)考查奇偶性和單調(diào)性的綜合問題，注意這種問題一般是用定義來證明的．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案