Question

已知函數(shù)．

（I）判斷的奇偶性；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的表達式；

（Ⅲ）若，證明：方程有兩個不同的正數(shù)解．

 

Answer 1

【答案】

（I）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】（1）對參數(shù)a進行討論，利用奇偶函數(shù)的定義，即可得出結(jié)論；

（2）當(dāng)時，，然后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)軸動區(qū)間定的最值問題來研究即可.

（3）利用圖像法，把方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)來研究.

當(dāng)，若時，，方程可化為即．

y

令，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，在時的圖像從圖像確定函數(shù)與的圖像在第四象限有兩個不同交點,從而證明方程有兩個不同的正數(shù)解.

解：（I）時，是奇函數(shù)；……（1分）

時，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．……（2分）

（II）當(dāng)時，，函數(shù)圖像的對稱軸為直線．（3分）

當(dāng)，即時，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以；

當(dāng)，即時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以；……（5分）

當(dāng)，即時，函數(shù)在上是減函數(shù)，

所以．……（6分）

綜上， ．……（7分）

（III）證法一：

若，則時，，方程可化為，

即．……（8分）

令，，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) 在時的圖像…（9分）

因為，，所以，即當(dāng)時

函數(shù)圖像上的點在函數(shù)圖像點的上方．……（11分）

所以函數(shù)與的圖像在第一象限有兩個不同交點．

即方程有兩個不同的正數(shù)解．…………（12分）

證法二：

若，則時，，方程可化為，

即．…………（8分）

y

令，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，在時的圖像．（9分）

因為，，所以，

即當(dāng)時，函數(shù)圖像上的點在函數(shù)圖像點的上方．…………（11分）

所以函數(shù)與的圖像在第四象限有兩個不同交點．

所以方程有兩個不同的正數(shù)解．…………（12分）