Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x³-6x²+3x+a），
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)在（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有三個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）定義：如果曲線C上存在不同點(diǎn)的兩點(diǎn)A（x₁，y₁ ），B（x₂，y₂ ），過AB的中點(diǎn)且垂直于x軸的直線交曲線C于點(diǎn)M，使得直線AB與曲線C在M處的切線平行，則稱曲線C有“平衡切線”．
試判斷函數(shù)G（x）=[f'（x）-f（x）]•e^-x+e^x的圖象是否有“平衡切線”，為什么？

Answer 1

分析：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)f'（x）=e^x（x³-3x²-9x+a+3），
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f'（0）及f（0）均可求，進(jìn)而可得函數(shù)在（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）由于f（x）有三個(gè)極值點(diǎn)?f'（x）=e^x（x³-3x²-9x+a+3）有三個(gè)零點(diǎn)?g（x）=x³-3x²-9x+a+3有三個(gè)零點(diǎn)，
即要求g（x）的極大值為正，且極小值為負(fù)，則可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）先判定函數(shù)G（x）的解析式，再求出曲線在點(diǎn)M處的切線斜率及直線AB的斜率，整理后構(gòu)建新函數(shù)，
借助于新函數(shù)的單調(diào)性來判斷函數(shù)G（x）=[f'（x）-f（x）]•e^-x+e^x的圖象是否有“平衡切線”．

解答：解：f'（x）=e^x（x³-3x²-9x+a+3）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)f'（0）=4，f（0）=1
函數(shù)在（0，f（0））處的切線方程為y=4x+1
（Ⅱ） f'（x）=e^x（x³-3x²-9x+a+3）
設(shè)g（x）=x³-3x²-9x+a+3，則g'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）
∴g（x）的極大值為g（-1）=a+8，極小值為g（3）=a-24，
由于f（x）有三個(gè)極值點(diǎn)?f'（x）有三個(gè)零點(diǎn)?g（x）有三個(gè)零點(diǎn)
∴g（x）的極大值為正，且極小值為負(fù)，即 a+8＞0，a-24＜0
可得-8＜a＜24
（Ⅲ）由題意知，G（x）=[f'（x）-f（x）]e^-x+e^x=e^x+3x²-12x+3
∴G'（x）=e^x+6x-12
故G（x）的圖象在M處的切線的斜率為k0=G′(

x1+x2

2

)=e

x1+x2

2

+3(x1+x2)-12
直線AB的斜率kAB=

G(x1)-G(x2)

x1-x2

=

ex1-ex2

x1-x2

+3(x1+x2)-12
如果k₀=k_AB，則

ex1-ex2

x1-x2

=e

x1+x2

2

則 ex1-ex2=e

x1+x2

2

(x1-x2)可化為e

x1-x2

2

-e

x2-x1

2

=(x1-x2)
令

x1-x2

2

=t，上式即為e^t-e^-t=2t
構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-e^-x-2x，則h'（x）=e^x+e^-x-2≥0，則h（x）在R上是增函數(shù)，
因?yàn)閔（0）=0，所以h（t）=0的充要條件是t=0．此時(shí) x₁=x₂與條件矛盾．
所以G（x）的圖象沒有“平衡切線”

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及根的個(gè)數(shù)的判斷，屬中檔題．