Question

已知函數(shù)y＝f(x)＝(a、c∈R，a＞0，b是自然數(shù))是奇函數(shù)，f(x)有最大值，且f(1)＞． (1) 試求函數(shù)f(x)的解析式 (2) 是否存在直線l與y＝f(x)的圖象只交于P、Q兩點(diǎn)，并且使得P、Q兩點(diǎn)的中點(diǎn)為點(diǎn)(1，0)?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：由f(x)為奇函數(shù)易知c＝0． 　　又因?yàn)閍＞0，b是自然數(shù)，所以當(dāng)x＜0時．f(x)＜0；當(dāng)x＞0時，f(x)＞0．所以f(x)的最大值必在x＞0時取得． 　　當(dāng)x＞0時f(x)＝≤，等號當(dāng)且僅當(dāng)ax＝時取得． 　　所以＝ 　　又f(1)＞，所以．結(jié)合a＞0，b是自然數(shù)，可得a＝b＝1． 　　所以f(x)＝

(2)

方法一　假設(shè)存在滿足條件的直線l，則P、Q的坐標(biāo)可為P(x0，y0)、Q(2－x0，－y0)，且這兩點(diǎn)都在函數(shù)f(x)＝的圖象上，即 　　消去y0得－2x0－1＝0 　　解得x0＝1± 　　所以p(1＋，)，Q(1－．－)或P(1－，－)，Q(1＋，)． 　　所以，直線l的方程為x－4y－1＝0． 　　直線l的存在性還需通過充分性的檢驗(yàn)． 　　把直線l的方程與函數(shù)y＝f(x)＝聯(lián)立，不難求得，共得有三組解： 　　　　　　 　　因此，直線l與y＝f(x)的圖象共有三個交點(diǎn)，與“只交于兩點(diǎn)”矛盾．所以，滿足條件的直線，l不存在． 　　在得到這樣的解答之后，我們不妨回頭再看一看，在上述過程中，函數(shù)．f(x)的性質(zhì)(如奇偶性)并沒有得到充分的應(yīng)用．若能充分運(yùn)用這個已知條件，則 可以得到共他不同的探索過程． 　　方法二　設(shè)P(x1·y1)、Q(x2·y2)，則由f(x)為奇函數(shù)可知：P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)(－x1，－y1)也在f(x)的圖象上． 　　又y1＋y2＝0，x1＋x2＝2．所以｜Q｜＝2，且Q∥x軸，故問題等價于： 　　是否存在直線m∶y＝b．使得直線m與y＝f(x)的圖象有兩個距離為2的交點(diǎn)． 　　將m∶y＝b代入y＝ 　　解得x1x2＝ 　　令｜x1－x2｜＝2． 　　解得b＝，x1x2＝1±， 　　所以P，Q，此時直線的方程為x－4y－1＝0 　　充分性的檢驗(yàn)過程同上． 　　以上兩種解法都是從求出直線的方程入手．如果我們將著眼點(diǎn)放在“只交于兩點(diǎn)”，則可以得到下面簡潔的解法． 　　方法三：當(dāng)直線l的斜率不存在時．l∶x＝1，此時l與函數(shù)f(x)的圖象只交于一點(diǎn)，不滿足題設(shè)，所以．可設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b． 　　與y＝聯(lián)立，消去y得 　　kx3＋bx2＋(k－1)x＋b＝0()． 　　由P、Q關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱，可得點(diǎn)(1，0)在直線PQ上，所以b＝－k．對于上述方程()，若k＝0，則方程只有一解，不符合題意． 　　若k≠0，則方程()的實(shí)根個數(shù)可能為1或3，不可能有2個，即過點(diǎn)(1，0)的直線l與y＝f(x)的圖象不可能只有兩個交點(diǎn)，所以．這樣的直線不存在． 　　點(diǎn)評：本題考查探索性在函數(shù)中的應(yīng)用．而敏銳的觀察、豐富的想像，是進(jìn)行有效探索的法寶．