Question

如圖，設P是圓x²+y²=2上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|PD|=

2

|MD|，當P在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求證：曲線C是焦點在x軸上的橢圓，并求其方程；
（Ⅱ）設橢圓C的右焦點為F₂，直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點，直線F₂A與F₂B的傾斜角互補，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設M的坐標為（x，y），P的坐標為（x_P，y_P），由已知得

xP=x yP= 2 y

，由此能證明曲線C是焦點在x軸上的橢圓，并能求出其方程．
（Ⅱ）設直線AB方程為y=kx+m，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韋達定理結合已知條件能證明直線MN過定點（2，0）．

解答： （Ⅰ）證明：設M的坐標為（x，y），P的坐標為（x_P，y_P），
由已知得

xP=x yP= 2 y

，
∵P在圓上，∴x²+（

2

y）²=2，即

x2

2

+y2=1，
∴曲線C是焦點在x軸上的橢圓，其方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）證明：由題意，知直線AB斜率存在，其方程為y=kx+m，
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，
且kF2A=

kx1+m

x1-1

，kF2B=

kx2+m

x2-1

，
由已知直線F₂A與F₂B的傾斜角互補得，
kF2M+kF2N=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0，
化簡得，2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k•

2m2-2

2k2+1

-

4km(m-k)

2k2+1

-2m=0，
整理得，m=-2k，
∴直線MN的方程為y=k（x-2），
故直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0）．

點評：本題考查曲線是橢圓的證明，考查直線過定點的證明，解題時要認真審題，熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)及其應用．