Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx．
（1）當b=a-1時，討論f（x）的單調性；
（2）當a=0時，若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點，求b的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設x₁、x₂為函數(shù)f（x）的兩個不同的零點．求證：x₁x₂＞e²（e為自然對數(shù)的底）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當b=a-1時，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系，即可判斷f（x）的單調性；
（2）當a=0時，若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點，利用數(shù)形結合即可求b的取值范圍；
（3）求函數(shù)的導數(shù)，構造函數(shù)，根據x₁、x₂為函數(shù)f（x）的兩個不同的零點，即可證明不等式．

解答： 解：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-ax+a-1=

-ax2+(a-1)+1

x

=-

(ax+1)(x-1)

x

…（2分）
當a≥0時，因為ax+1＞0，故函數(shù)f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減…（3分）
當-1＜a＜0時，函數(shù)f（x）在（0，1）和（-

1

a

，+∞）上遞增，在（1，-

1

a

）上遞減…（4分）
當a=-1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞增，
當a＜-1時，函數(shù)f（x）在（0，-

1

a

）和（1，+∞）上遞增，在（-

1

a

，1）上遞減…（6分）
（2）當a=0，f（x）=lnx+bx，令g（x）=lnx，h（x）=-bx，
要使得f（x）有兩個零點，即使得g（x）和h（x）圖象有兩個交點（如圖）…（6分）
容易求得g（x）和h（x）的切點為（e，1），所以0＜-b＜

1

e

，即-＜

1

e

＜b＜0．（8分）
（3）∵x₁、x₂為函數(shù)f（x）的兩個零點，不妨設0＜x₁＜x₂，
所以lnx₁+bx₁=0，lnx₂+bx₂=0，
兩式相減得：

lnx2-lnx1

x2-x1

=-b，兩式相加得：

lnx2+lnx1

x2+x1

=-b …（9分）
要證x₁x₂＞e²，即證lnx₁+lnx₂＞2，
即證

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

2

x2+x1

，即證ln

x2

x1

＞

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

 …（11分）
令t=

x2

x1

，（t＞1），即證lnt＞

2(t-1)

t+1

，
h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，則h′（t）=

(t-1)2

t(t+1)

＞0…（12分）
所以h（t）＞h（1）=0，即lnt＞

2(t-1)

t+1

，（t＞1）（13分）
所以

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

2

x2+x1

，所以x₁x₂＞e²…（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系，考查考生的應用，運算量大，綜合性較強，屬于難題．