Question

8．已知函數(shù)f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，解不等式f（x）＞0；
（2）若a＞0，試判斷f（x）在（-1，1）上是否有最大或最小值，說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）問題可化為$x（x+\frac{1}{a}）＜0$，解出即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）因?yàn)閑^x＞0，所以不等式f（x）＞0，即為ax²+x＞0，
又因?yàn)閍＜0，所以不等式可化為$x（x+\frac{1}{a}）＜0$，
所以不等式f（x）＞0的解集為$（0，-\frac{1}{a}）$．
（2）f'（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
圖象對(duì)稱軸為$x=-\frac{2a+1}{2a}=-1-\frac{1}{2a}＜-1$．
因?yàn)間（-1）•g（0）=-a＜0，所以g（x）在（-1，1）內(nèi)有零點(diǎn)，記為x₀，
在（-1，x₀）上g'（x）＜0，g（x）遞減，在（x₀，1）上g'（x）＞0，g（x）遞增，
∴f（x）在（-1，1）上有最小值，無最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解不等式問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．