Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn) 且斜率為k的直線l與橢圓 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量 與 共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知條件，直線l的方程為 ，
代入橢圓方程得 ．
整理得 ①
直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，等價(jià)于①的判別式△= ，
解得 或 ．即k的取值范圍為 ．
（Ⅱ）設(shè)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），則 ，
由方程①， ． ②
又 ． ③
而 ．
所以 與 共線等價(jià)于 ，
將②③代入上式，解得 ．
由（Ⅰ）知 或 ，
故沒(méi)有符合題意的常數(shù)k
【解析】（1）直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程組有2個(gè)不同解，轉(zhuǎn)化為判別式大于0．（2）利用2個(gè)向量共線時(shí)，坐標(biāo)之間的關(guān)系，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求兩根之和，解方程求常數(shù)k．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的向量的共線定理和平面的概念、畫(huà)法及表示，需要了解設(shè)，，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量、共線；經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)面;平面的畫(huà)法：水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，銳角畫(huà)成450，且橫邊畫(huà)成鄰邊的2倍長(zhǎng)才能得出正確答案．