【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)若對于任意,都有,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)的單調(diào)遞增區(qū)間是;的單調(diào)遞減區(qū)間是(3).
【解析】
(1)先求得導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率,再求得切點坐標(biāo),即可由點斜式得切線方程;
(2)求得導(dǎo)函數(shù),并令求得極值點,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號即可判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間;
(3)將不等式變形,并分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù),求得并令求得極值點,結(jié)合極值點左右兩側(cè)的單調(diào)性和端點求得最值,即可確定的取值范圍.
(1)因為函數(shù),
所以,.
又因為,則切點坐標(biāo)為,
所以曲線在點處的切線方程為.
(2)函數(shù)定義域為,
由(1)可知,.
令解得.
與在區(qū)間上的情況如下:
- | 0 | + | |
↘ | 極小值 | ↗ |
所以,的單調(diào)遞增區(qū)間是;
的單調(diào)遞減區(qū)間是.
(3)當(dāng)時,“”等價于“”.
令,,,.
令解得,
當(dāng)時,,所以在區(qū)間單調(diào)遞減.
當(dāng)時,,所以在區(qū)間單調(diào)遞增.
而,.
所以在區(qū)間上的最大值為.
所以當(dāng)時,對于任意,都有.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在傳染病學(xué)中,通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對機(jī)體發(fā)生作用起,到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期. 一研究團(tuán)隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息,得到如下表格:
潛伏期(單位:天) | |||||||
人數(shù) |
(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響,為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系,以潛伏期是否超過6天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣,從上述1000名患者中抽取200人,得到如下列聯(lián)表. 請將列聯(lián)表補充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān);
潛伏期天 | 潛伏期天 | 總計 | |
50歲以上(含50歲) | |||
50歲以下 | 55 | ||
總計 | 200 |
(3)以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率,代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率,每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立. 為了深入研究,該研究團(tuán)隊隨機(jī)調(diào)查了名患者,其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能(即概率最大)是多少?
附:
,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,,.已知分別是的中點.將沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,連接,如圖:
(1)證明:平面平面
(2)求平面與平面所成二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十九世紀(jì)末,法國學(xué)者貝特朗在研究幾何概型時提出了“貝特朗悖論”,即“在一個圓內(nèi)任意選一條弦,這條弦的弦長長于這個圓的內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是多少?”貝特朗用“隨機(jī)半徑”、“隨機(jī)端點”、“隨機(jī)中點”三個合理的求解方法,但結(jié)果都不相同.該悖論的矛頭直擊概率概念本身,強烈地刺激了概率論基礎(chǔ)的嚴(yán)格化.已知“隨機(jī)端點”的方法如下:設(shè)A為圓O上一個定點,在圓周上隨機(jī)取一點B,連接AB,所得弦長AB大于圓O的內(nèi)接等邊三角形邊長的概率.則由“隨機(jī)端點”求法所求得的概率為( 。
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
Ⅰ若函數(shù)的最大值為3,求實數(shù)的值;
Ⅱ若當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
Ⅲ若,是函數(shù)的兩個零點,且,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的短軸長為,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線平行于直線,且與橢圓交于兩個不同的點,若為鈍角,求直線在軸上的截距的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,,,沿中位線DE折起后,點A對應(yīng)的位置為點P,.
(1)求證:平面平面DBCE;
(2)求證:平面平面PCE;
(3)求直線BP與平面PCE所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】疫情期間,某小區(qū)超市平面圖如圖所示,由矩形與扇形組成,米,米,,經(jīng)營者決定在點處安裝一個監(jiān)控攝像頭,攝像頭的監(jiān)控視角,攝像頭監(jiān)控區(qū)域為圖中陰影部分,要求點在弧上,點在線段上.設(shè).
(1)求該監(jiān)控攝像頭所能監(jiān)控到的區(qū)域面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求出的取值范圍;
(2)求監(jiān)控區(qū)域面積最大時,角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a是實數(shù),關(guān)于z的方程(z2-2z+5)(z2+2az+1)=0有4個互不相等的根,它們在復(fù)平面上對應(yīng)的4個點共圓,則實數(shù)a的取值范圍是________.
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