Question

19．過點(diǎn)P（a，-2）作拋物線C：x²=4y的兩條切線，切點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），證明：x₁x₂+y₁y₂為定值．

Answer 1

分析 方法一：求導(dǎo)，求得直線PA的方程，將P代入直線方程，求得x₁²-2ax₁-8，同理可知x₂²-2ax₂-8=0．則x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的兩個(gè)根，則由韋達(dá)定理求得x₁x₂，y₁y₂的值，即可求證x₁x₂+y₁y₂為定值；
方法二：設(shè)切線方程，代入拋物線方程，由△=0，則k₁k₂=-2，分別求得切線方程，代入即可求證x₁x₂+y₁y₂為定值．

解答 證明：方法一：由x²=4y，得y=$\frac{1}{4}$x²，求導(dǎo)y′=$\frac{1}{2}$x．
則直線PA的斜率為$\frac{1}{2}$x₁．
由點(diǎn)A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）在拋物線C上，所以y=$\frac{1}{4}$x₁²，y=$\frac{1}{4}$x₂²．
∴直線PA的方程為y-$\frac{1}{4}$x₁²=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁）．
∵點(diǎn)P（a，-2）在直線PA上，
∴-2-$\frac{1}{4}$x₁²=$\frac{1}{2}$x₁（a-x₁），即x₁²-2ax₁-8=0．
同理，x₂²-2ax₂-8=0．
∴x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的兩個(gè)根．
∴x₁x₂=-8．…（4分）
又y₁y₂=$\frac{1}{4}$x₁²×$\frac{1}{4}$x₂²=4，
∴x₁x₂+y₁y₂=-4為定值．
方法二：設(shè)過點(diǎn)P（a，-2）且與拋物線C相切的切線方程為y+2=k（x-a），
$\left\{\begin{array}{l}{y+2=k（x-a）}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y得x²-4kx+4ka+8=0，
由△=16k²-4（4ak+8）=0，化簡得k²-ak-2=0．
∴k₁k₂=-2．…（3分）
由x²=4y，得y=$\frac{1}{4}$x²，求導(dǎo)y′=$\frac{1}{2}$x．
則直線PA的斜率為k₁=$\frac{1}{2}$x₁．，直線PB的斜率為k₂=$\frac{1}{2}$x₂．
∴$\frac{1}{4}$x₁x₂=-2，即x₁x₂=-8．…（4分）
又y₁y₂=$\frac{1}{4}$x₁²×$\frac{1}{4}$x₂²=4，
∴x₁x₂+y₁y₂=-4為定值．
∴x₁x₂+y₁y₂為定值-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，韋達(dá)定理，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．