Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-x+a有且只有一個零點，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若對任意的x∈（1，+∞），有（x+1）f（x）+x²-2x+k＞0恒成立，求實數(shù)k的最小值；
（3）設h（x）=f（x）+x-1，對任意x₁，x₂∈（0，+∞）（x₁≠x₂），證明：不等式

x1+x2

2

＞

x1-x2

h(x1)-h(x2)

恒成立．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,證明題,選作題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f′（x）=

1

x

-1，則函數(shù)f（x）=lnx-x+a在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，由題意，f（x）的最大值等于0，從而解出a；
（2）化簡（x+1）f（x）+x²-2x+k＞0為k＞2x-xlnx-lnx-1，從而將恒成立問題轉化為求函數(shù)g（x）=2x-xlnx-lnx-1在[1，+∞）上的最值問題；利用導數(shù)可得g′（x）=2-lnx-1-

1

x

=

x-xlnx-1

x

，再令m（x）=x-xlnx-1并求導m′（x）=1-lnx-1=-lnx，從而判斷g（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，最終求出函數(shù)g（x）=2x-xlnx-lnx-1在[1，+∞）上的最值問題，則k≥g（1）=2-0-0-1=1，從而求實數(shù)k的最小值；
（3）化簡h（x）=f（x）+x-1=lnx，則對任意x₁，x₂∈（0，+∞）（x₁≠x₂），

x1+x2

2

＞

x1-x2

h(x1)-h(x2)

恒成立可化為對任意x₁，x₂∈（0，+∞）（x₁≠x₂），

(x1+x2)(lnx1-lnx2)-2(x1-x2)

2(lnx1-lnx2)

＞0恒成立；不妨沒x₁＜x₂，則上式可化為（x₁+x₂）（lnx₁-lnx₂）-2（x₁-x₂）＜0，從而令n（x）=（x₁+x）（lnx₁-lnx）-2（x₁-x），進行二階求導，判斷n（x）在（x₁，+∞）上的單調(diào)性，從而證明對任意x₁，x₂∈（0，+∞）（x₁≠x₂），不等式

x1+x2

2

＞

x1-x2

h(x1)-h(x2)

恒成立．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

-1，
則函數(shù)f（x）=lnx-x+a在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
則若使函數(shù)f（x）=lnx-x+a有且只有一個零點，
則0-1+a=0，解得，a=1；
（2）（x+1）f（x）+x²-2x+k＞0可化為
（x+1）（lnx-x+1）+x²-2x+k＞0，
即k＞2x-xlnx-lnx-1對任意的x∈（1，+∞）恒成立，
令g（x）=2x-xlnx-lnx-1，
則g′（x）=2-lnx-1-

1

x

=

x-xlnx-1

x

，
令m（x）=x-xlnx-1，
則m′（x）=1-lnx-1=-lnx，
∵x∈（1，+∞），
∴m′（x）=1-lnx-1=-lnx＜0，
則m（x）=x-xlnx-1＜1-1ln1-1=0，
則g′（x）＜0，
則g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
則k＞2x-xlnx-lnx-1對任意的x∈（1，+∞）恒成立可化為
k≥g（1）=2-0-0-1=1，
則k的最小值為1；
（3）證明：由題意，h（x）=f（x）+x-1=lnx，
則對任意x₁，x₂∈（0，+∞）（x₁≠x₂），

x1+x2

2

＞

x1-x2

h(x1)-h(x2)

恒成立可化為，
對任意x₁，x₂∈（0，+∞）（x₁≠x₂），

(x1+x2)(lnx1-lnx2)-2(x1-x2)

2(lnx1-lnx2)

＞0恒成立；
不妨沒x₁＜x₂，則lnx₁-lnx₂＜0，
則上式可化為（x₁+x₂）（lnx₁-lnx₂）-2（x₁-x₂）＜0，
令n（x）=（x₁+x）（lnx₁-lnx）-2（x₁-x），
則n′（x）=（lnx₁-lnx）-（x₁+x）

1

x

+2
=lnx₁-lnx-

x1

x

+1，
n″（x）=-

1

x

+

x1

x2

=

x1-x

x2

，
∵則當x∈（x₁，+∞）時，n″（x）＜0，
則n′（x）在（x₁，+∞）上是減函數(shù)，
則n′（x）＜n′（x₁）=0，
則n（x）在（x₁，+∞）上是減函數(shù)，
則n（x）＜n（x₁）=0，
則（x₁+x₂）（lnx₁-lnx₂）-2（x₁-x₂）＜0，
故對任意x₁，x₂∈（0，+∞）（x₁≠x₂），不等式

x1+x2

2

＞

x1-x2

h(x1)-h(x2)

恒成立．

點評：本題考查了函數(shù)的零點的個數(shù)的判斷，同時考查了恒成立問題的處理方法，判斷單調(diào)性一般用導數(shù)，本題用到了二階求導及分化求導以降低化簡難度，屬于難題．