Question

14．正四面體側面與底面所成二面角的余值$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 不妨設正四面體為A-BCD，取CD的中點E，連接AE，BE，設四面體的棱長為2，則AE=BE=$\sqrt{3}$，且AE⊥CD，BE⊥CD，則∠AEB即為側面與底面所成二面角的平面角．在△ABE中，利用余弦定理求解

解答 解：不妨設正四面體為A-BCD，取CD的中點E，連接AE，BE，設四面體的棱長為2，則AE=BE=$\sqrt{3}$，
且AE⊥CD，BE⊥CD，則∠AEB即為側面與底面所成二面角的平面角．
   在△ABE中，cos∠AEB=$\frac{A{E}^{2}+B{E}^{2}-A{B}^{2}}{2AE•BE}=\frac{1}{3}$，
∴正四面體側面與底面所成二面角的余弦值是$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，其中確定∠AEB即為相鄰兩側面所成二面角的平面角，是解答本題的關鍵．屬于中檔題