設函數(shù) (abc、d∈R)圖象關于原點對稱,且x=1時,取極小值

(1)求ab、cd的值;

(2)當時,圖象上是否存在兩點,使得過此兩點處的切線互相垂直?試證明你的結論;

(3)若時,求證:

 

【答案】

(1);(2)當時,圖象上不存在這樣的兩點使結論成立. 證明見解析;

(3)證明見解析。

【解析】

試題分析:(1)∵函數(shù)圖象關于原點對稱,∴對任意實數(shù),

,即恒成立

 ,

時,取極小值,解得 

   (2)當時,圖象上不存在這樣的兩點使結論成立.

假設圖象上存在兩點,使得過此兩點處的切線互相垂直,

則由知兩點處的切線斜率分別為

…………(*)

、,

此與(*)相矛盾,故假設不成立.

證明(3),

,

上是減函數(shù),且 

∴在[-1,1]上,時,

考點:本題主要考查導數(shù)的幾何意義,研究函數(shù)的單調性,求函數(shù)的極值,不等式證明。

點評:綜合題,以函數(shù)為載體,通過應用導數(shù)知識,對函數(shù)極值、直線的位置關系、不等式的證明等進行了全面考查。

 

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本小題滿分14分)設函數(shù)a、bc、d∈R)圖象關于原點對稱,且x=1時,取極小值

       (Ⅰ)求函數(shù)的解析式;

       (Ⅱ)若對任意的,恒有成立,求的取值范圍;

       (Ⅲ)當時,函數(shù)圖象上是否存在兩點,使得過此兩點處的切線互相垂直?試證明你的結論;

       (IV)設表示的曲線為G,過點作曲線G的切線,求的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:2012屆廣西桂林中學高三7月月考試題理科數(shù)學 題型:解答題

(本題滿分12分)設函數(shù) (a、b、c、d∈R)滿足:
對任意 都有,
(1)的解析式;
(2)當時,證明:函數(shù)圖象上任意兩點處的切線不可能互相垂直;
(3)設 ,證明:時,

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科目:高中數(shù)學 來源:2013屆浙江省浙東北三校高二下學期期中聯(lián)考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

設函數(shù)=(x-a)(x-b)(x-c),(a,b,c是兩兩不等的常數(shù)),則++等于(  )

(A)0               (B)           (C)             (D)

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年廣西桂林中學高三7月月考試題理科數(shù)學 題型:解答題

(本題滿分12分)設函數(shù) (a、b、c、d∈R)滿足:

對任意 都有,,

(1)的解析式;

(2)當時,證明:函數(shù)圖象上任意兩點處的切線不可能互相垂直;

(3)設 ,證明:時,

 

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年福建省高二下學期期中考試理數(shù) 題型:解答題

設函數(shù)(a、b、c、d∈R)滿足:對于任意的都有f(x)+f(-x)=0,且x=1時f(x)取極小值.    

(1)f(x)的解析式;

(2)當時,證明:函數(shù)圖象上任意兩點處的切線不可能互相垂直:

 

 

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