設(shè)命題p:曲線y=x3-2ax2+2ax上任一點(diǎn)處的切線的傾斜角都是銳角;命題q:直線y=x+a與曲線y=x2-x+2有兩個(gè)公共點(diǎn);若命題p和命題q中有且只有一個(gè)是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:若命題p:曲線y=x3-2ax2+2ax上任一點(diǎn)處的切線的傾斜角都是銳角為真命題,則他的導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立,由此可構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式,解不等式可以求出滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍,及不滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍;若命題q:直線y=x+a與曲線y=x2-x+2有兩個(gè)公共點(diǎn),則方程x2-2x+2-a=0有兩個(gè)不等根,由二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系,又可造一個(gè)關(guān)于a的不等式,解不等式可以求出滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍,及不滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍;根據(jù)命題p和命題q中有且只有一個(gè)是真命題,分類討論即可得到答案.
解答:解:若命題p為真命題,則y′=3x
2-4ax+2a>0對(duì)x∈R恒成立,…(2分)
∴△
1=(4a)
2-4×3×2a=8a(2a-3)<0,得
0<a<;…(5分)
若命題q為真命題,則方程組
有兩組不同的解,即x
2-2x+2-a=0有兩個(gè)不等根,
∴△
2=4-4(2-a)=4(a-1)>0,得a>1;…(10分)
那么,命題p為真命題而命題q為假命題時(shí),即
0<a<且a≤1,
得,0<a≤1;…(12分)
命題p為假命題而命題q為真命題時(shí),即
,得,
a≥;
∴當(dāng)命題p和命題q中有且只有一個(gè)是真命題時(shí),
a∈(0,1]∪[,+∞).…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用,直線的傾斜角,直線與圓錐曲線的關(guān)系,其中求出命題p與命題q成立及不成立時(shí),數(shù)a的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵.