在長(zhǎng)方體中，，過、、三點(diǎn)的平面截去

    長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體，且這個(gè)幾何體的體

    積為。

   （I）求棱的長(zhǎng)；

   （Ⅱ）在線段上是否存在點(diǎn)P，使直線與垂直，如果存在，求線段的長(zhǎng)，如果不存在，請(qǐng)說明理由；

   （Ⅲ）求平面與平面所成二面角的余弦值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解：（I）設(shè)，因?yàn)閹缀误w的體積為

所以，

即

即，解得

所以的長(zhǎng)為4.

（Ⅱ）在線段上存在點(diǎn)使直線與垂直。

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，軸，軸建立如圖的

空間直角坐標(biāo)系

由已知條件與（I）可知，，

假設(shè)在線段上存在點(diǎn)使直線

與垂直。

則過點(diǎn)作交于點(diǎn)

由題易證得

所以，所以，所以。

因?yàn)?sub>，所以，即，所以

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且在線段上

因?yàn)?sub>，所以

所以在線段上存在點(diǎn)，使直線與垂直，且線段的長(zhǎng)為（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知所以

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，解得

所以

因?yàn)槠矫?sub>的一個(gè)法向量為，且平面與平面所成的二面角是一個(gè)銳角、所以（12分）

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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在長(zhǎng)方體中，，過、、三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體，且這個(gè)幾何體的體積為．

（1）求棱的長(zhǎng)；

（2）若的中點(diǎn)為，求異面直線與所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

 

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在長(zhǎng)方體中，，過、、三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體，且這個(gè)幾何體的體積為．

（1）求棱的長(zhǎng)；

（2）求點(diǎn)到平面的距離．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆河北省高一下學(xué)期一調(diào)考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在長(zhǎng)方體中，，過、、三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體，且這個(gè)幾何體的體積為．

（1）求棱的長(zhǎng)；

（2）若的中點(diǎn)為，求異面直線與所成角的余弦值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山西省忻州市高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題

(本題滿分12分)

在長(zhǎng)方體中，，過、、

三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾

何體，且這個(gè)幾何體的體積為．

(Ⅰ)求棱的長(zhǎng)；

(Ⅱ)若的中點(diǎn)為，求異面直線與所成角

的余弦值．

 

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在長(zhǎng)方體中，，過、、三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體，且這個(gè)幾何體的體積為．

（1）求棱的長(zhǎng)；

（2）若的中點(diǎn)為，求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

 

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