Question

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的單位長(zhǎng)度．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1），傾斜角α=

π

6

．
（I）寫出直線l的參數(shù)方程是

x= 3 t+1 y=t+1

（t為參數(shù)），

（II）設(shè)l與圓ρ=2相交與兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積是

2

．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出直線l上任意一點(diǎn)Q，利用直線斜率的坐標(biāo)公式可得到坐標(biāo)的關(guān)系：（y-1）：（x-1）=1：

3

，再令
x-1=

3

t，以t為參數(shù)，可以得到直線l的參數(shù)方程；
（II）將圓ρ=2化成普通方程，再與直線的參數(shù)方程聯(lián)解，得到一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程．再用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式，可得出P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

解答：解：（I）設(shè)直線l上任意一點(diǎn)Q（x，y）
∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1），傾斜角α=

π

6

．
∴直線的斜率為k=

y-1

x-1

=

3

3

=

1

3

設(shè)x-1=

3

t，則y-1=t
∴

x= 3 t+1 y=t+1

（t為參數(shù)），即為直線l的參數(shù)方程．
（II）圓ρ=2化成直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4
將x=

3

t+1，則y=t+1代入，得：（

3

t+1）²+（t+1）²=4
∴2t²+（

3

+1）t-1=0…（*）
∵l與圓ρ=2相交與兩點(diǎn)A、B
∴A（

3

t₁+1，t₁+1），B（

3

t₂+1，t₂+1），其中t₁、t₂是方程（*）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
 由根與系數(shù)的關(guān)系，得

t1+t2=- 3 +1 2 t1t2=- 1 2

P到A、B兩點(diǎn)的距離分別為：
PA=

( 3 t1) 2+t1  2

=2|t1|，PB=

( 3 t2) 2+t2 2

=2|t2|
∴點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積為PA•PB=4|t₁t₂|=2
故答案為：

x= 3 t+1 y=t+1

（t為參數(shù)），2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的參數(shù)方程、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．請(qǐng)同學(xué)們注意解題過(guò)程中用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求的思想方法．