已知函數(shù)f(x)=
aa2-1
(ax-a-x)
,其中a>0,a≠1
(1)寫出f(x)的奇偶性與單調(diào)性(不要求證明);
(2)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?1,1),求滿足不等式f(1-m)+f(1-m2)<0的實(shí)數(shù)m的取值集合;
(3)當(dāng)x∈(-∞,2)時(shí),f(x)-4的值恒為負(fù),求a的取值范圍.
分析:(1)由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(-x)=-f(x),可得函數(shù)f(x)為奇函數(shù).分當(dāng)a>1和當(dāng)0<a<1兩種情況,分別根據(jù)
a
a2-1
的符號(hào),及函數(shù)ax-a-x的單調(diào)性,可得函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
(2)由題意可得 f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),故有
-1<1-m<1
-1<1-m2<1
1-m<m2-1
,由此解得m的范圍.
(3)要使f(x)-4的值恒為負(fù),只要f(2)-4≤0,即
a2+1
a
≤4
,由此求得a的范圍.
解答:解:(1)由于函數(shù)f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x)
,其中a>0,a≠1,它的定義域?yàn)镽,
再根據(jù)f(-x)=
a
a2-1
•(a-x-ax)=-
a
a2-1
(ax-a-x)
=-f(x),
故函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
當(dāng)a>1時(shí),
a
a2-1
>0,且函數(shù)ax-a-x為增函數(shù),故此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù).
當(dāng) 0<a<1時(shí),
a
a2-1
>0,且函數(shù)ax-a-x為減函數(shù),故此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù).
(2)由于函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?1,1),故由不等式f(1-m)+f(1-m2)<0,
可得 f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),
-1<1-m<1
-1<1-m2<1
1-m<m2-1
,解得 1<m<
2

(3)由于函數(shù)f(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞增,要使f(x)-4的值恒為負(fù),
只要f(2)-4≤0,即
a
a2-1
(a2-a-2)-4≤0,即
a2+1
a
≤4

解得 2-
3
≤a≤2+
3
,且a≠1,即a的范圍[2-
3
,1)、(1,2+
3
].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式,屬于基礎(chǔ)題.
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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34
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(-∞,-2)
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