Question

11．在平面直角坐標系xOy中，直線L的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點O為極點，OX軸為極軸，取相同的單位長度，建立極坐標系，曲線C的方程為ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．
（1）求直線L和曲線C的直角坐標方程；
（2）設(shè)曲線C與直線L交于A，B兩點，若P（$\sqrt{3}$，2），求|AB|和|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的方程為ρ=2$\sqrt{3}$cosθ得ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，再化為直角坐標方程，將直線L的參數(shù)方程消參后化為直線的一般式方程；
（2）將直線L的參數(shù)方程代入圓的方程消去x后，利用根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)系式并判斷出符號，由參數(shù)的幾何意義求出|AB|和|PA|+|PB|．

解答 解：（1）∵曲線C的方程為ρ=2$\sqrt{3}$cosθ，∴ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，
化為直角坐標方程為x²+y²=2$\sqrt{3}$x，
即$（x-\sqrt{3}）^{2}+{y}^{2}=3$；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$得$x+y=2+\sqrt{3}$，則直線L$x+y-2-\sqrt{3}=0$ …（5分）
（2）把直線l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入圓的方程$（x-\sqrt{3}）^{2}+{y}^{2}=3$，
化簡得${t}^{2}-2\sqrt{2}t+1=0$，
由根與系數(shù)的關(guān)系知，t₁+t₂=$2\sqrt{2}＞0$，t₁t₂=1＞0，
∴t₁，t₂是兩個正實數(shù)根，
由參數(shù)的幾何意義得|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=2，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=$2\sqrt{2}$  …（10分）

點評 本題考查曲線的極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標方程之間的互化，根與系數(shù)的關(guān)系，以及參數(shù)的幾何意義，考查化簡、變形能力．