Question

若數列{a_n}的前n項和S_n=

1

3

a_n+

2

3

，則{a_n}的前5項和S₅=

 

．

Answer 1

考點：等差數列的前n項和

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知中數列{a_n}的前n項和S_n=

1

3

a_n+

2

3

，可得：S_n-1=

1

3

a_n-1+

2

3

，相減可得數列相鄰兩項關系，進而根據等比數列的前n項和公式，得到答案．

解答： 解：∵數列{a_n}的前n項和S_n=

1

3

a_n+

2

3

，…①
∴當n≥2時，S_n-1=

1

3

a_n-1+

2

3

，…②
①-②得：a_n=

1

3

a_n+

1

3

a_n-1，
即

an

an-1

=

1

2

，
又由n=1時，S₁=a₁=

1

3

a₁+

2

3

，得：a₁=1，
故數列{a_n}是以1為首項，以

1

2

為公比的等比數列，
∴S₅=

1-( 1 2 )5

1- 1 2

=

31

16

，
故答案為：

31

16

點評：此題考查數列的遞推公式，注意S_n-S_n-1=a_n，這一點很重要，也是高考的熱點問題．