Question

正項數列{a_n}滿足：它的平方數列{a_n²}是公差為1，第4項為4的等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列b_n=

1

an+1+an

的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據條件確定a₁，構造等差數列即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）求出b_n的通項公式，利用分母有理化，進行求和．

解答： 解：（1）∵數列{a_n²}是公差為1，第4項為4的等差數列，
∴a₄²=a₁²+（4-1）×1=4，即a₁²=1，
即數列{

a

2 n

}是以1為首項，1為公差的等差數列，則

a

2 n

=1+（n-1）=n，
即a_n=±

n

．
∵正項數列{a_n}，
∴a_n=

n

．
（2）b_n=

1

an+1+an

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

，
則S_n=（

2

-1）+（

3

-

2

）+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1．

點評：本題主要考查等差數列的通項公式，以及利用分母有理化進行數列求和，考查學生的計算能力．