Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】試題分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，求導后得，根據(jù)正負進行討論，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）中可通過分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化成在區(qū)間內(nèi)恒成立求解，令，結(jié)合函數(shù)零點存在定理可求得的最值。

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為．

由題意得，

當時， ，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

當時，由，得或（舍去），

當時， ， 單調(diào)遞增，

當時， ， 單調(diào)遞減．

所以當時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）由，

得，

因為，所以原命題等價于在區(qū)間內(nèi)恒成立．

令，

則，

令，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

又，

所以存在唯一的，使得，

且當時， ， 單調(diào)遞增，

當時， ， ，

所以當時， 有極大值，也為最大值，且 ，

所以，

又，所以,

所以，

因為，

故整數(shù)的最小值為2．