4.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,M是A1B1的中點,則下列四個命題:
①直線BC與平面ABC1D1所成的角等于45°;
②四面體ABCD1在正方體六個面內(nèi)的投影圖形面積的最小值為$\frac{1}{2}$;
③點M到平面ABC1D1的距離是$\frac{1}{2}$;
④BM與CD1所成的角為$arcsin\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
其中真命題的序號是①②④.

分析 利用正方體的特征,依次考查和證明每一個選項:M到面ABC1D1的距離等于B1到面ABC1D1的距離$\frac{1}{2}$B1C,BC與面ABC1D1所成的角即為∠CBC1=45°,在四個面上的投影或為正方形或為三角形.最小為三角形;BE與CD1所成的角即為BE與BA1所成的角.

解答 解:正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,M是A1B1的中點,
對于①:BC與面ABC1D1所成的角即為∠CBC1=45°,∴正確.
對于②:在四個面上的投影或為正方形或為三角形.最小為三角形,面積為$\frac{1}{2}$,∴正確.
對于③:M∈A1B1,A1B1∥面ABC1D1,∴M到面ABC1D1的距離等于B1到面ABC1D1的距離$\frac{1}{2}$B1C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,∴不對.
對于④:BM與CD1所成的角即為BM與BA1所成的角,即∠A1BM,A1M=$\frac{1}{2}$,A1B=2,BM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
由余弦定理可得cos∠A1BE=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$,∴sin∠A1BM=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,BM與CD1所成的角為$arcsin\frac{{\sqrt{10}}}{10}$,∴正確.
故答案為:①②④.

點評 本題考查命題的真假判斷,是基礎(chǔ)題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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