一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球.已知從袋中任意摸出1個球,得到黑球的概率是
2
5
;從袋中任意摸出2個球,至少得到1個白球的概率是
7
9

(Ⅰ)若袋中共有10個球,從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的數(shù)學期望Eξ.
(Ⅱ)求證:從袋中任意摸出2個球,至少得到1個黑球的概率不大于
7
10
.并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少.
分析:(I)首先根據(jù)從袋中任意摸出2個球,至少得到1個白球的概率是
7
9
,列出關系式,得到白球的個數(shù),從袋中任意摸出3個球,白球的個數(shù)為ξ,根據(jù)題意得到變量可能的取值,結合對應的事件,寫出分布列和期望.
(II)設出兩種球的個數(shù),根據(jù)從袋中任意摸出2個球,至少得到1個黑球的概率不大于
7
10
,得到兩個未知數(shù)之間的關系,得到白球的個數(shù)比黑球多,白球個數(shù)多于
2
5
n
,紅球的個數(shù)少于
n
5
,得到袋中紅球個數(shù)最少.
解答:解:(Ⅰ)記“從袋中任意摸出兩個球,至少得到一個白球”為事件A,
設袋中白球的個數(shù)為x,
P(A)=1-
C
2
10-x
C
2
10
=
7
9
,
得到x=5.
故白球有5個.
隨機變量ξ的取值為0,1,2,3,
∴分布列是
精英家教網(wǎng)
∴ξ的數(shù)學期望Eξ=
1
12
×0+
5
12
×1+
5
12
×2+
1
12
×3=
3
2

(Ⅱ)證明:設袋中有n個球,其中y個黑球,由題意得y=
2
5
n
,
∴2y<n,2y≤n-1,
y
n-1
1
2

記“從袋中任意摸出兩個球,至少有1個黑球”為事件B,
P(B)=
2
5
+
3
5
×
y
n-1
2
5
+
3
5
×
1
2
=
7
10

∴白球的個數(shù)比黑球多,白球個數(shù)多于
2
5
n
,紅球的個數(shù)少于
n
5

故袋中紅球個數(shù)最少.
點評:本題主要考查排列組合、對立事件、相互獨立事件的概率和隨機變量分布列和數(shù)學期望等概念,同時考查學生的邏輯思維能力和分析問題以及解決問題的能力.
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23
.若袋中共有10個球,
(i)求4號球的個數(shù);
(ii)從袋中任意摸出2個球,記得到小球的編號數(shù)之和為ξ,求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ.

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(Ⅰ)若袋中共有10個球,

(i)求白球的個數(shù);

(ii)從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數(shù)為,求隨機變量的數(shù)學期望

(Ⅱ)求證:從袋中任意摸出2個球,至少得到1個黑球的概率不大于。并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少。

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(Ⅰ)若袋中共有10個球,

(i)求白球的個數(shù);

(ii)從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數(shù)為,求隨機變量的數(shù)學期望。

(Ⅱ)求證:從袋中任意摸出2個球,至少得到1個黑球的概率不大于。并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少。

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一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球。已知從袋中任意摸出1個球,得到黑球的概率是;從袋中任意摸出2個球,至少得到1個白球的概率是

    (Ⅰ)若袋中共有10個球,

(i)求白球的個數(shù);

(ii)從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數(shù)為,求隨機變量的數(shù)學期望。

(Ⅱ)求證:從袋中任意摸出2個球,至少得到1個黑球的概率不大于。并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少。

 

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