Question

4．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²-2a_n²=a_na_n+1，若a₁=1，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ-1．

Answer 1

分析 把已知的數(shù)列遞推式變形，因式分解后得到數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，然后由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得答案．

解答 解：∵a_n+1²-2a_n²=a_na_n+1，
∴a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，∴2a_n-a_n+1=0，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$，
∴數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，
又∵a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n}-1$．
故答案為：2^n-1．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題．