Question

【題目】如圖是一塊鍍鋅鐵皮的邊角料，其中都是線(xiàn)段，曲線(xiàn)段是拋物線(xiàn)的一部分，且點(diǎn)是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，所在直線(xiàn)是該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸. 經(jīng)測(cè)量，2米，米，，點(diǎn)到的距離的長(zhǎng)均為1米．現(xiàn)要用這塊邊角料裁一個(gè)矩形（其中點(diǎn)在曲線(xiàn)段或線(xiàn)段上，點(diǎn)在線(xiàn)段上，點(diǎn)在線(xiàn)段上）. 設(shè)的長(zhǎng)為米，矩形的面積為平方米.

（1）將表示為的函數(shù)；

（2）當(dāng)為多少米時(shí)，取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)米時(shí)，平方米.

【解析】

試題分析：（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.由此求得所在拋物線(xiàn)的方程為，即.同時(shí)可求得線(xiàn)段的方程為，且.所以；（2）當(dāng)時(shí)，可利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)，取得最大值為；當(dāng)，這是一個(gè)二次函數(shù)，在對(duì)稱(chēng)軸時(shí)取得最大值為，綜上所述，最大值為.

試題解析：

（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)曲線(xiàn)段所在拋物線(xiàn)的方程為，

將點(diǎn)代入，得，

即曲線(xiàn)段的方程為.

又由點(diǎn)得線(xiàn)段的方程

為.

而，

所以

（2）①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以，由，得，

當(dāng)時(shí)，，所以遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以遞減，所以當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，；

綜上，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)米時(shí)，平方米.