精英家教網(wǎng)四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,PA=
3
,∠ACB=90°.
(I)求證:BC⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角D-PC-A的大;
(Ⅲ)求點(diǎn)B到平面PCD的距離.
分析:(I)要證BC⊥平面PAC,只需證明PA⊥BC,BC⊥AC即可;
(Ⅱ)先作出二面角D-PC-A的平面角(利用三垂線定理),然后求解即可;
(Ⅲ)要求點(diǎn)B到平面PCD的距離,利用等體積法求解即可.
對于(Ⅱ)(Ⅲ),還可以利用空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)向量,利用數(shù)量積和距離公式解答.
解答:精英家教網(wǎng)解:法一
(1)證明:∵PA⊥底面ABCD,BC?平面ABCD,
∴PA⊥BC,∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC;(4分)
(2)∵AB∥CD,∴∠DAB=120°
.∠ADC=60°,又AD=CD=1,∴△ADC為等邊三角形,且AC=1.
取AC的中點(diǎn)O,則DO⊥AC,∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥DO,
∴DO⊥平面PAC過O作OH⊥PC,垂足為H,連DH,
由三垂線定理知DH⊥PC.∴∠DHO為二面角D-PC-A的平面角.
OH=
3
4
,DO=
3
2

tanDHO=
DO
OH
=2
,∴∠DHO=arctan2.
∴二面角D-PC-A的大小為arctan2;(9分)
(3)設(shè)點(diǎn)B到平面PCD的距離的距離為d.
∵AB∥CD,AB?平面PCD,CD?平面PCD,∴AB∥平面PCD.
∴點(diǎn)B到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離.(11分)
∵VA-PCD=VP-ACD,∴
15
4
d=
3
4
3
(13分)
d=
15
5
.(14分)

解法二
(1)同解法一;(4分)
(2)取CD的中點(diǎn)E,則AE⊥CD,∴AE⊥AB.
又PA⊥底面ABCD,AE?面ABCD,∴PA⊥AE,(5分)
建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.則
A(0,0,0),P(0,0,
3
),C(
3
2
,
1
2
,0),D(
3
2
,-
1
2
,0)
,
AP
=(0,0,
3
),
AC
=(
3
2
,
1
2
,0),
PD
=(
3
2
,-
1
2
,0)
,(7分)
設(shè)n1=(x1,y1,z1)為平面PAC的一個(gè)法向量,
n2=(x2,y2,z2)為平面PDC的一個(gè)法向量,精英家教網(wǎng)
n1
AC
=0
n1
AP
=0
?
3
2
x1+
1
2
y1=0
3
z1=0
?
y1=-
3
x1
z1=0

可取
n1
=(
3
,-3,0)

n2
DC
=0
n2
DP
=0
?
y2=0
-
3
2
x2+
1
2
y2+
3
z2=0
?
y1=0
x2=2z2

可取
n2
=(2,0,1)
.(9分)
cos?
n1
,
n2
>=
n1
n2
|
n1
|•|
n2
|
(10分)
=
2
3
5
×2
3
=
5
5

故所求二面角的大小為arccos
5
5
.(11分)
(3)又B(0,2,0),
PB
=(0,2,-
3
)
(7).(12分)
由(Ⅱ)取平面PCD的一個(gè)法向量
n2
=(2,0,1)
,
∴點(diǎn)B到平面PCD的距離的距離為d=
|
n2
PB
|
|
n2
|
. (13分)
=
|0×2+2×0-
3
|
5
=
15
5
.(14分)
點(diǎn)評:本題考查直線與平面垂直,二面角,點(diǎn)的平面的距離,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(II)求平面EFG⊥平面PAD;
(III)若M是線段CD上一點(diǎn),求三棱錐M-EFG的體積.

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2
,PA=2,求:
(1)三角形PCD的面積;
(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,若PA=AB=BC=
12
,AD=1.
(I)求證:CD⊥平面PAC
(II)求二面角A-PD-C的余弦值.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°,M為AB的中點(diǎn).
(1)求證:BC∥平面PMD;
(2)求證:PC⊥BC;
(3)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,其中PA=PD=AD=2,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn).
(1)求證:PA∥平面MDB;
(2)求證:AD⊥平面PQB;
(3)若平面PAD⊥平面ABCD,且M為PC的中點(diǎn),求四棱錐M-ABCD的體積.

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