Question

如圖，已知S₁為直線x=0，y=4-t²及y=4-x²所圍成的面積，S₂為直線x=2，y=4-t²及y=4-x²所圍成圖形的面積（t為常數(shù)）．
（1）若t=

2

時(shí)，求S₂；
（2）若t∈（0，2），求S₁+S₂的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）利用定積分表示出S₂；
（2）若t∈（0，2），利用定積分表示出S₁+S₂，利用函數(shù)的單調(diào)性求最小值．

解答： 解：（1）當(dāng)t=

2

時(shí)，S₂=

∫

2 2

[2-（4-x²）]dx=（

1

3

x3-2x）

|

2 2

=

4

3

（

2

-1）．…（5分）
（2）t∈（0，2），S₁=

∫

t 0

[（4-x²）-（4-t²）]dx=（t2x-

1

3

x3）

|

t 0

=

2

3

t3，…（6分）
S₂=

∫

2 t

[（4-t²）-（4-x²）]dx=（

1

3

x3-t2x）

|

t 0

=

8

3

-2t2+

2

3

t3，…（7分）
∴S=S₁+S₂=

4

3

t3-2t2+

8

3

，…（8分）
∴S′=4t（t-1），
令S′=0得t=0（舍去）或t=1，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，S′＜0，S單調(diào)遞減，
當(dāng)t＞1時(shí)，S′＞0，S單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=1時(shí)，S_min=2．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．