Question

7．已知F為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{NF}$=0，△MNF的面積為ab．則該雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)M（m，n），（n＞0），利用$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{NF}$=0，△MNF的面積為ab，求出M的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)M（m，n），（n＞0），則
∵$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{NF}$=0，△MNF的面積為ab，
∴2×$\frac{1}{2}cn$=ab，m²+n²=c²，
∴n=$\frac{ab}{c}$，m²=c²-$\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$，
∴$\frac{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}}{^{2}}$=1，
∴$e=\sqrt{2}$．
故答案為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．