在數(shù)列{an}和{bn}中,an=an,bn=(a+1)n+b,n=1,2,3,…,其中a≥2且a∈N*,b∈R.
(Ⅰ)若a1=b1,a2<b2,求數(shù)列{bn}的前n項和;
(Ⅱ)證明:當(dāng)時,數(shù)列{bn}中的任意三項都不能構(gòu)成等比數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)A={a1,a2,a3,…},B={b1,b2,b3,…},試問在區(qū)間[1,a]上是否存在實數(shù)b使得C=A∩B≠∅.若存在,求出b的一切可能的取值及相應(yīng)的集合C;若不存在,試說明理由.
【答案】分析:(I)由a1=b1,a2<b2,結(jié)合已知可建立a,b的方程,從而可求a,b,進(jìn)一步求出數(shù)列bn的通項及前n項和
(II)結(jié)合(I)知,假設(shè)amanat(m.n.t∈N+)成等比數(shù)列,且m≠n≠t,由假設(shè)推導(dǎo)可得,結(jié)合m≠t≠n∈N+的條件可知矛盾.
(III)設(shè)存在實數(shù)b∈[1,a],使C=A∩B≠∅,若m∈C,則m∈A,且m∈B,
由m∈A可設(shè)m=at,由m∈B可設(shè)mo=(a+1)s+b,整理可得分t為奇偶情況分別進(jìn)行討論,若推出矛盾,則說明不存在,否則存在符合條件的實數(shù)b
解答:解:(Ⅰ)因為a1=b1,所以a=a+1+b,b=-1,(1分)
由a2<b2,得a2-2a-1<0,
所以,(3分)
因為a≥2且a∈N*,所以a=2,(4分)
所以bn=3n-1,{bn}是等差數(shù)列,
所以數(shù)列{bn}的前n項和.(5分)
(Ⅱ)由已知,假設(shè),成等比數(shù)列,其中m,n,t∈N*,且彼此不等,
,(6分)
所以,
所以,
若m+t-2n=0,則3n2-3mt=0,可得m=t,與m≠t矛盾;(7分)
若m+t-2n≠0,則m+t-2n為非零整數(shù),為無理數(shù),
所以3n2-3mt為無理數(shù),與3n2-3mt是整數(shù)矛盾.(9分)
所以數(shù)列{bn}中的任意三項都不能構(gòu)成等比數(shù)列.
(Ⅲ)設(shè)存在實數(shù)b∈[1,a],使C=A∩B≠∅,
設(shè)m∈C,則m∈A,且m∈B,
設(shè)m=at(t∈N*),m=(a+1)s+b(s∈N*),
則at=(a+1)s+b,所以,
因為a,t,s∈N*,且a≥2,所以at-b能被a+1整除.(10分)
(1)當(dāng)t=1時,因為b∈[1,a],a-b∈[0,a-1],
所以;(11分)
(2)當(dāng)t=2n(n∈N*)時,a2n-b=[(a+1)-1]2n-b=(a+1)2n+-C2n1(a+1)+1-b,
由于b∈[1,a],所以b-1∈[0,a-1],0≤b-1<a+1,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)b=1時,at-b能被a+1整除.(12分)
(3)當(dāng)t=2n+1(n∈N*)時,a2n+1-b=[(a+1)-1]2n+1-b=(a+1)2n+1++C2n+11(a+1)-1-b,
由于b∈[1,a],所以b+1∈[2,a+1],
所以,當(dāng)且僅當(dāng)b+1=a+1,即b=a時,at-b能被a+1整除.(13分)
綜上,在區(qū)間[1,a]上存在實數(shù)b,使C=A∩B≠∅成立,且當(dāng)b=1時,C={y|y=a2n,n∈N*};當(dāng)b=a時,C={y|y=a2n+1,n∈N}.
點評:本題綜合考查了數(shù)列的求和、等比數(shù)列的定義、數(shù)列與集合綜合,考查了考生的邏輯推理能力與分析問題、解決問題的能力.
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(Ⅰ)若a1=b1,a2<b2,求數(shù)列{bn}的前n項和;
(Ⅱ)證明:當(dāng)a=2,b=
2
時,數(shù)列{bn}中的任意三項都不能構(gòu)成等比數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)A={a1,a2,a3,…},B={b1,b2,b3,…},試問在區(qū)間[1,a]上是否存在實數(shù)b使得C=A∩B≠∅.若存在,求出b的一切可能的取值及相應(yīng)的集合C;若不存在,試說明理由.

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(Ⅱ)證明:當(dāng)a=2,b=
2
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