Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上的一點(diǎn)Q（m，2）到其焦點(diǎn)F的距離為3．
（I）求拋物線C的方程；
（II）過坐標(biāo)平面上的點(diǎn)F′作拋物線C的兩條切線l₁和l₂，分別交x軸于A，B兩點(diǎn)．
（i ）若點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（0，-1），如圖，求證：△ABF′的外接圓過點(diǎn)F；
（ii）試探究：若改變點(diǎn)F'的位置，或拋物線的開口大小，（i）中的結(jié)論是否仍然成立？由此給出一個使（i）中的結(jié)論成立的命題，并加以證明．

Answer 1

解：（I）由拋物線的定義得2-（-）=3，解得p=2，
故拋物線的方程為：x²=4y．
（II）（i ）由題得，過點(diǎn)F'（0，-1）且與曲線相切的直線的斜率存在，
設(shè)其方程為y=kx-1，
由得x²-4kx+4=0．
令△=0得k=±1．
故所求的兩條切線分別為l₁：y=x-1，l₂，y=-x-1．
設(shè)l₁交x軸與點(diǎn)A，則A（1，0）；l₂交x軸與點(diǎn)B，則B（-1，0）．
設(shè)△ABF'的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
則.?．
故△ABF'的外接圓方程為x²+y²=1．它過點(diǎn)F（0，1）．
（ii）命題：設(shè)F'為拋物線x²=2py外一點(diǎn)，若過點(diǎn)F'作拋物線的兩條切線l₁，l₂分別交x軸與A，B兩點(diǎn)，則△ABF′的外接圓過點(diǎn)F．
證明：設(shè)l₁，l₂分別切拋物線x²=2py于P₁（x₁，y₁），P（x₂，y₂）．
則x₁≠0，x₂≠0．
∵y'=，故l₁，l₂的方程分別為y-y₁=（x-x₁）和y-y₂=（x-x₂）．
解得A（，0）；B（，0）．
由，得F'（）
AB的垂直平分線方程為x=；
AF'的垂直平分線方程為y-=-（x-），
它們的交點(diǎn)為M（）．
又F（0，），故AF的中點(diǎn)為N（），所以=（），=（，）
∴==0．
故線段AB，AF'AF的垂直平分線交于一點(diǎn)M，即A，B，F(xiàn)'都在以M為圓心的圓上，
也就是說△ABF′的外接圓過點(diǎn)F．
分析：（I）先利用拋物線的定義求出p，即可求拋物線C的方程；
（II）（i ）先利用直線與圓相切求出切線l₁和l₂的方程，進(jìn)而求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出過A，B，F(xiàn)′的圓的方程即可證明結(jié)論．
（ii）先由（i ）的提示寫出命題：設(shè)F'為拋物線x²=2py外一點(diǎn)，若過點(diǎn)F'作拋物線的兩條切線l₁，l₂分別交x軸與A，B兩點(diǎn)，則△ABF′的外接圓過點(diǎn)F．再證明線段AB，AF'AF的垂直平分線交于一點(diǎn)M，即可證明結(jié)論．
點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的 位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想以及特殊與一般思想．