Question

3．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=log_（n+1）（n+2），（n∈N^*）我們把使乘積a₁a₂a₃…a_n為整數(shù)的n叫做“優(yōu)數(shù)”，則在（1，2016]內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為2026．

Answer 1

分析 由題意可得，a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4•…•log_n+1（n+2）=$\frac{lg3}{lg2}$×$\frac{lg4}{lg3}$×$\frac{lg5}{lg4}$×…×$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$=log₂（n+2），若使log₂（n+2）為整數(shù)，則n+2=2^k，在（1，2010]內(nèi)的所有整數(shù)可求，進(jìn)而利用分組求和及等比數(shù)列的求和公式可求．

解答 解：∵a_n=log_n+1（n+2）
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4•…•log_n+1（n+2）
=$\frac{lg3}{lg2}$×$\frac{lg4}{lg3}$×$\frac{lg5}{lg4}$×…×$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$=log₂（n+2），
若使log₂（n+2）為整數(shù)，則n+2=2^k
在（1，2010]內(nèi)的所有整數(shù)分別為：2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2
∴所求的數(shù)的和為2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2=$\frac{4（1-{2}^{9}）}{1-2}$-2×9=2026
故答案為：2026．

點(diǎn)評(píng) 本題以新定義“優(yōu)數(shù)”為切入點(diǎn)，主要考查了對(duì)數(shù)的換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔試題．