Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，已知S₃=7且a₁+3、3a₂、a₃+4成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=lna_2n+1（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）求a₂+a₅+a₈+…+a_3n-1+…+a_3n+8的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于{a_n}的首項(xiàng)與公差的方程組，求出首項(xiàng)、公差代入通項(xiàng)公式即得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）將a_2n+1代入b_n，利用等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出T_n．
（3）利用等差數(shù)列的性質(zhì)：間隔相同的項(xiàng)取出的項(xiàng)仍為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出和．

解答：解：（1）

a1+a2+a3=7 a1+3+a3+4=6a2

解得a₂=2
設(shè)公比為q則

a2

q

+a2+a2q=7
解得q=2或q=

1

2

（舍去），
所以a₁=1，q=2
∴a_n=2^n-1
（2）b_n=ln2²ⁿ=2nln2
∴b_n+1-b_n=2ln2
∴數(shù)列{b_n}是公差為2ln2的等差數(shù)列
∴Tn=

n(2ln2+2nln2)

2

=n(n+1)ln2
（3）a₂，a₅，a₈…a_3n+8是首項(xiàng)為a₂，公比為8，項(xiàng)數(shù)為n+3項(xiàng)的等比數(shù)列
∴a₂+a₅+a₈+…+a_3n+8=

2(1-8n+3)

1-8

=

2

7

(8n+3-1)

點(diǎn)評：解決等差數(shù)列及等比數(shù)列的問題時(shí)，一般的方法是利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式得到關(guān)于首項(xiàng)、公差、公比的關(guān)系．