已知A，B，P是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1上不同的三點，且A，B連線經(jīng)過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積kPA•kPB=
1
3
，則該雙曲線的離心率為（　　）
A、
5
2
B、
6
2
C、
2
D、
2
3
3
分析：設(shè)A，B，P三點的坐標分別為 （x1，y1），（-x1，-y1），（x2，y2 ），由 kPA•kPB=
1
3
 可得
y22 -y12
x22-x12
=
1
3
，①又
x12
a2
-
y12
b2
=1，
x22
a2
-
y22
b2
=1，可得 
y22 -y12
x22-x12
= 
b2
a2
 ②，
由①②可得 
b2
a2
=
1
3
，故 e2=
c2
a2
=
a2+b2
a2
=
4
3
，從而得到離心率 e=
c
a
．
解答：解：設(shè)A，B，P三點的坐標分別為 （x1，y1），（-x1，-y1），（x2，y2 ），
由 kPA•kPB=
1
3
 可得，
y2 -y1
x2-x1
•
y2 +y1
x2+ x1
=
y22 -y12
x22-x12
=
1
3
  ①．
又
x12
a2
-
y12
b2
=1，
x22
a2
-
y22
b2
=1，∴
x22
a2
-
x12
a2
=
y22
b2
- 
y12
b2
，
y22 -y12
x22-x12
= 
b2
a2
 ②，由①②可得 
b2
a2
=
1
3
，∴e2=
c2
a2
=
a2+b2
a2
=
a2+
1
3
a2
a2
=
4
3
，
故 離心率 e=
c
a
=
2
3
3
，
故選  D．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，得到
b2
a2
=
1
3
，是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線左支上任一點，若
|PF2|2
|PF1|
的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�
A、（1，+∞）
B、（0，3]
C、（1，3]
D、（0，2]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年龍巖一中沖刺文）（分）已知雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，右準線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點，R是弦PQ的中點.

   （1）求雙曲線C的方程；

   （2）若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動點，且2|AB|=|F1F2|，求線段AB的中點M的跡方程，并說明該軌跡是什么曲線。

   （3）若在雙曲線右準線L的左側(cè)能作出直線m:x=a，使點R在直線m上的射影S滿足，當點P在曲線C上運動時，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線左支上任一點，若
|PF2|2
|PF1|
的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　　）
A．（1，+∞）B．（0，3]C．（1，3]D．（0，2]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年湖北省襄樊四中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲的左、右焦點，P為雙曲線左支上任一點，若的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）
A．（1，+∞）
B．（0，3]
C．（1，3]
D．（0，2]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年陜西省西安市西工大附中高考數(shù)學(xué)四模試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲的左、右焦點，P為雙曲線左支上任一點，若的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）
A．（1，+∞）
B．（0，3]
C．（1，3]
D．（0，2]

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