Question

已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為6，側(cè)棱長為．有一動點M在側(cè)面PAB內(nèi)，它到頂點P的距離與到底面ABC的距離比為．

（1）求動點M到頂點P 的距離與它到邊AB的距離之比；
（2）在側(cè)面PAB所在平面內(nèi)建立為如圖所示的直角坐標(biāo)系，求動點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）作PO⊥底面ABC于O點，則O為△ABC的中心，連接CO并延長交AB于D，連PD，則∠PDC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，作MN⊥底面于N，作NQ⊥AB于Q，連MQ，則∠MQN為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，從而MQ=2MN，即可求出M到頂點P的距離與它到邊AB的距離之比．
（2）設(shè)M點的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)建立等式關(guān)系，求出點M的軌跡，然后求出x和y的范圍，從而求出所求．
解答：解：

（1）作PO⊥底面ABC于O點，則O為△ABC的中心，連接CO并延長交AB于D，連PD，則∠PDC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．∵AB=6，∴∴∠PDO=30°----------------------------4′
作MN⊥底面于N，作NQ⊥AB于Q，連MQ，則∠MQN為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，∴∠MQN=30°．
于是，MQ=2MN，有題意，∴
即M到頂點P的距離與它到邊AB的距離之比為---------------------------8′
（2）設(shè)M點的坐標(biāo)為（x，y），由，P（0，2）得：，化簡得：x²-y²-4y+4=0------12′
直線PB的方程為，由，解得
綜上，M點的軌跡方程為x²-y²-4y+4=0-----------------------14′
點評：本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及軌跡方程，同時考查了計算能力和推理論證的能力，屬于中檔題．