Question

9．已知函數$f（x）=-ax+\frac{1}{2}{x^2}+lnx$在（2，+∞）單調遞增，則a的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 求出函數的導數，問題轉化為a≤x+$\frac{1}{x}$在（2，+∞）恒成立，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=-a+x+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{x}$，
若f（x）在（2，+∞）遞增，
則g（x）=x²-ax+1≥0在（2，+∞）恒成立，
即a≤x+$\frac{1}{x}$在（2，+∞）恒成立，
而y=x+$\frac{1}{x}$在（2，+∞）遞增，
故a≤2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
故答案為：（-∞，$\frac{5}{2}$]．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．