Question

已知定義在R上的函數f（x） 滿足：①對任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y）②當x＜0時，有f（x）＜0
（1）利用奇偶性的定義，判斷f（x）的奇偶性；
（2）利用單調性的定義判斷f（x）的單調性；
（3）若關于x的不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0在R上有解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：本題（1）利用奇偶性的定義，結合條件f（x）+f（y）=f（x+y），用賦值法，得到f（-x）與-f（x）的關系，判斷出f（x）的奇偶性；（2）利用函數單調必的定義，證明出f（x）的單調性；（3）利用函數的奇偶性和單調性，將關于x的不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0轉化為3^x的不等式，通過變量分離，求出最值，得到k的取值范圍，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵對任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y），
∴令x=y=0，得到：f（0）+f（0）=f（0），f（0）=0，
再令y-x得到：f（x）+f（-x）=f（0），f（-x）=-f（x）．
∴定義在R上的函數f（x）是奇函數；
（2）在R上任取兩個自變量的值x₁，x₂，且x₁＞x₂，
f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）
=f（x₁）+f（x₂-x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）．
∵x₁＞x₂，
∴x₂-x₁＜0，
∵當x＜0時，有f（x）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數f（x）在R上單調遞增；
（3）由（1）（2）知：奇函數f（x）在R上單調遞增，
∴關于x的不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0可以轉化為：
f（k•3^x）＞-f（3^x-9^x-2），
∴f（k•3^x）＞-f（3^x-9^x-2），
∴f（k•3^x）＞f（-3^x+9^x+2），
∴k•3^x＞-3^x+9^x+2，
∴k＞3^x+

2

3x

-1．
∵3^x+

2

3x

-1≥2

3x× 2 3x

-1=2

2

-1，
當且僅當3x=

2

3x

，x=

1

2

log32時取等號．
∴關于x的不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0在R上有解時，k＞2

2

-1．
∴實數k的取值范圍是：（2

2

-1，+∞）．

點評：本題考查了函數的單調性定義及證明、函數的奇偶性定義及證明、函數單調性奇偶性的應用、抽象函數的研究、不等式的解法，本題有一定的綜合性，難度不大，屬于中檔題．