Question

(20)已知函數f(x)=4x³-3x²cosθ+cosθ，其中x∈R,θ為參數，且0≤θ＜2π．

    (Ⅰ)當cosθ=0時，判斷函數f(x)是否有極值；

    (Ⅱ)要使函數f(x)的極小值大于零，求參數θ的取值范圍；

    (Ⅲ)若對(Ⅱ)中所求的取值范圍內的任意參數θ，函數f(x)在區(qū)間(2a-1，a)內都是增函數，求實數α的取值范圍．

Answer 1

本小題主要考查運用導數研究函數的單調性及極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數學思想方法．

(Ⅰ)解：當cosθ=0時，f(x)=4x³，則f(x)在(-∞，+∞)內是增函數，故無極值．

(Ⅱ)解：f′(x)=12x²-6xcosθ，令f′(x)=0，得

 

x₁=0，x₂=.

由(Ⅰ)，只需分下面兩種情況討論．

當cosθ＞0時，隨x的變化，f′(x)的符號及f(x)的變化情況如下表：

因此，函數f（x）在x=處取得極小值f（），且

f（）=-.

   要使f（）＞0，必有-＞0，可得

0＜cosθ＜.

    由于0≤θ＜2π，故

＜θ＜或＜θ＜.

②當cosθ＜0時，隨x的變化，f′（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：

因此，函數f（x）在x=0處取得極小值f（0），且

f（0）=cosθ

若f（0）＞0，且cosθ＞0.矛盾.所以當cosθ＜0時，f（x）的極小值不會大于零.

綜上，要使函數f（x）在（-∞，+∞）內的極小值大于零，參數θ的取值范圍為

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，函數f（x）在區(qū)間（-∞，0）與（，+∞）內都是增函數.

由題設，函數f(x)在(2a-1,a)內是增函數，則a須滿足不等式組

由(Ⅱ),參數θ∈時，0＜cosθ＜.要使不等式2a-1≥cosθ關于參數θ恒成

 

立，必有2a-1≥_，即.

 

綜上，解得a≤0或＜1.所以a的取值范圍是

(-∞,0]∪［，1）.