Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-（a²-a）lnx-x（a≤

1

2

）．
（1）若函數(shù)f（x）在2處取得極值，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（3）設g（x）=a²lnx²-x，若f（x）＞g（x）對?x＞1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）首先通過f（x）在2處取得極值求出a，然后對f（x）求導，得到x=1處的導數(shù)，從而得到切線斜率；
（2）令f′（x）=0，討論a的范圍；
（3）整理f（x）＞g（x），分離a與x，構造h（x）=

x2

2lnx

，通過求導求h（x）的最小值，只要3a²-a＜h（x）_min即可．

解答： 解：（1）由f′（x）=x-

a(a-1)

x

-1，f′（2）=0，得a=-1或a=2（舍去）．
經檢驗當a=-1時，函數(shù)f（x）在2處取得極值．
a=-1時，f（x）=

1

2

x2-2lnx-x，
f′（x）=x-

2

x

-1，f（1）=-

1

2

，f′（1）=-2，
∴所求的切線方程為y+

1

2

=-2（x-1），整理得4x+2y-3=0．
（2）f′（x）=x-

a2-a

x

-1=

x2-x-(a2-a)

x

=

(x-a)(x+a-1)

x

，
令f′（x）=0，得x=a，或x=1-a．
a≤

1

2

時，a≤1-a，且1-a＞0．
①當a=

1

2

時，a=1-a=

1

2

＞0，f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，+∞）上遞增；
②當a≤0時，f（x）在（0，1-a）是單調遞減；
在（1-a，+∞）上單調遞增；
③當0＜a＜

1

2

時，f（x）在（0，a）（1-a，+∞）上單調遞增，在（a，1-a）上單調遞減．

（3）由題意，

1

2

x2-(a2-a)lnx-x＞a2lnx2-x，即

1

2

x2-(a2-a)lnx＞2a2•lnx，即3a2-a＜

x2

2lnx

對任意?x＞1恒成立，
令h（x）=

x2

2lnx

，則h′（x）=

x(2lnx-1)

2ln2x

．
令h′（x）=0，得x=

e

，
當x∈（1，

e

）時，h（x）單調遞減．
當x∈（

e

，+∞）時，h（x）單調遞增，
∴當x=

e

時，h（x）取得最小值h（

e

）=e，
∴3a²-a＜e，
解得

1- 1+12e

6

＜a＜

1+ 1+12e

6

，
又∵a≤

1

2

，
∴

1- 1+12e

6

＜a≤

1

2

．

點評：本題考查了導數(shù)的運用，利用導數(shù)求切線方程，求函數(shù)的單調區(qū)間以及恒成立問題．