Question

8．下面幾個(gè)不等式的證明過程：
①若a、b∈R，則$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=2；
②x∈R且x≠0，則|x+$\frac{4}{x}}$|=|x|+$\frac{4}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{4}{|x|}}$；
③若a、b∈R，ab＜0，則$\frac{a}$+$\frac{a}$=-（-$\frac{a}$+$\frac{-a}$）≤-2$\sqrt{-\frac{a}•\frac{-a}}$=-2．
其中正確的序號是②③．

Answer 1

分析 ①a、b∈R，當(dāng)ab異號時(shí)．$\frac{a}$＜0，$\frac{a}$＜0，$\frac{a}$+$\frac{a}$=-（$\frac{a}$+$\frac{a}$）≤-2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=-2．不成立
②x∈R且x≠0，x＞0時(shí)，|x+$\frac{4}{x}}$|=|x|+$\frac{4}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{4}{|x|}}$；成立；x＞0時(shí)，|-（x+$\frac{4}{x}}$）|=|x+$\frac{4}{x}}$|=|x|+$\frac{4}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{4}{|x|}}$；成立．
③a、b∈R，ab＜0，ab異號，$\frac{a}$＜0，$\frac{a}$＜0，$\frac{a}$+$\frac{a}$=-（-$\frac{a}$+$\frac{-a}$）成立．

解答 解：①a、b∈R，當(dāng)ab異號時(shí)，$\frac{a}$＜0，$\frac{a}$＜0，$\frac{a}$+$\frac{a}$=-（$\frac{a}$+$\frac{a}$）≤-2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=-2．不成立．a(chǎn)=0或b=0時(shí)，$\frac{a}$，$\frac{a}$無意義，故①不對．
②x∈R且x≠0，x＞0時(shí)，|x+$\frac{4}{x}}$|=|x|+$\frac{4}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{4}{|x|}}$；成立；
                    x＞0時(shí)，|-（x+$\frac{4}{x}}$）|=|x+$\frac{4}{x}}$|=|x|+$\frac{4}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{4}{|x|}}$；成立．故②對．
③a、b∈R，ab＜0，ab異號，$\frac{a}$＜0，$\frac{a}$＜0，
那么$\frac{a}$+$\frac{a}$=-（-$\frac{a}$+$\frac{-a}$））≤-2$\sqrt{-\frac{a}•\frac{-a}}$=-2，成立．故③對．
故答案為：②③

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)的運(yùn)用條件和化簡能力．屬于基礎(chǔ)題．