Question

如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的正方形，AA₁=3，E是棱CC₁上的點，且

CE

=

1

3

CC1

，P是側(cè)面BCC₁B₁上的動點，且A₁P∥面D₁AE，則A₁P與平面BCC₁B₁所成角的正切值的最大值為（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  10

  2

• C、

  13

  2

• D、2

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：計算題,向量法,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：以B為原點，BA，BC，BB₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（0，s，t），求得A₁，A，E，D₁，B₁的坐標(biāo)，連接B₁P，則由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁所，則∠A₁PB₁即為A₁P與平面BCC₁B₁所成角，則tan∠A₁PB₁=

A1B1

B1P

，要求最大值，只要求B₁P的最小值，設(shè)平面D₁AE的法向量為

n

=（x，y，z），由向量垂直的條件，求出法向量，再由

n

⊥

A1P

，求出P的軌跡方程，即為直線，再由點到直線的距離公式，即可得到．

解答： 解：以B為原點，BA，BC，BB₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)P（0，s，t），且A₁（2，0，3），A（2，0，0），E（0，2，1），D₁（2，2，3），B₁（0，0，3），
連接B₁P，則由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁所，則∠A₁PB₁即為A₁P與平面BCC₁B₁所成角，
則tan∠A₁PB₁=

A1B1

B1P

，

AE

=（-2，2，1），

AD1

=（0，2，3），

A1P

=（-2，s，t-3），
設(shè)平面D₁AE的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n

⊥

AE

，即

n

•

AE

=0，即有-2x+2y+2z=0，

n

⊥

AD1

，即有2y+3z=0，即y=-

3

2

z，x=-z，
可取

n

=（-2，-3，2），由于A₁P∥面D₁AE，則

n

⊥

A1P

，
即有

n

•

A1P

=0，即4-3s+2（t-3）=0，即2t-3s-2=0，
則B₁P的最小值為d=

|2×3-2|

22+32

=

4

13

，
則tan∠A₁PB₁的最大值為：

2

4 13

=

13

2

．
故選C．

點評：本題考查空間直線和平面所成的角的求法，考查坐標(biāo)法求空間角，考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．